[일반물리학1 실험보고서 #1]

자이로스코프(Gyroscope)

1. 실험제목

자이로스코프(Gyroscope)

2. 실험일시

2009년 1월 5일 3시~6시

3. 실험목적

자이로스코프를 통해 강체의 회전운동을 이해하고, 회전하는 물체의 세차운동과 장동운동에 대해 이해한다.

4. 이론적 배경

[그림 ] 실험에 사용한 자이로스코프

자이로스코프가 [eqn: theta = 90 DEG]의 상태로 균형을 이루고 있을 때 회전축에서 거리 d만큼 떨어진 곳에 질량 m인 물체를 놓게 되면 토크가 가해지게 된다. 토크는 힘의 모멘트(moment of force)라고도 하며 어떤 힘이 가해지는 물체를 회전시키는 정도이다. 어떠한 회전축에 대한 토크는 회전축에 수직인 면에 대한 힘의 성분과 축으로부터 이 힘의 성분방향에 이르는 가장 가까운 거리의 곱으로 나타낸다.

이 때 가해지는 토크의 크기는 다음과 같다.

[eqn: vec {tau} = vec { gamma } TIMES vec{F} = d TIMES mg][eqn: = {vec{dL}} over {dt} = L TIMES {d phi} over{dt}]

여기서 [eqn: {d phi} over{dt} = OMEGA]로 치환하면 세차운동 속도 [eqn: OMEGA]는 아래와 같다.

[eqn: OMEGA = {mgl} over {L} = {mgd} over Iw]	([eqn: w = {2 pi} over T])

이 세차운동 속도를 구하기 위해서는 회전하는 판의 회전 관성인 I 값을 필요로 한다. 이를 실험적으로 구하기 위해서 회전판과 도르래를 이용해 도르래에 물체를 매단다. 회전판에 토크를 가해 회전시키게 되면, [eqn: I = tau over alpha]([eqn: alpha]는 각가속도) 이고 도르래에 의한 토크는 [eqn: tau = r F] (F는 장력, r은 도르래의 반경)이 되어 판에 가해진다. 이 때 뉴턴의 운동 제 2법칙을 이용하여 F를 구하면, [eqn: sum _{ } ^{ }F = mg - F = ma]. 즉 [eqn: F = m(g-a)]가 되며, 가속도 a는 높이 y에서 떨어뜨렸을 때 [eqn: a = 2y over t^2]가 된다. 각가속도 [eqn: alpha = ar]임을 이용하여 최종적으로 관성모멘트 I를 계산하여 세차운동 속도 [eqn: OMEGA]를 구할 수 있다.

5. 실험내용 및 실험 과정

1) 관성모멘트 I 측정

세차운동 속도 [eqn: OMEGA]를 구할 때 [eqn: OMEGA = {mgl} over {L} = {mgd} over Iw]에서 m, g, d, w는 정해진 값이므로 I를 실험적으로 구해야 한다. 이를 위해 다음과 같이 실험을 설계하였다.

[그림 ] 관성모멘트 측정 위한 실험기구

① 자이로스코프의 회전하는 판에 낚싯줄을 이용하여 추를 매단다. 우리는 100.25g짜리 추를 사용하였다.

② 자이로스코프가 수평을 유지할 수 있도록 추를 움직여 조절한다.

③ 낚싯줄을 도르래에 걸고 회전판을 잡고 있던 손을 놓으면, 추가 떨어지는데, 이 때 추가 등속으로 떨어질 때의 추의 질량을 이용하여 운동마찰력을 구한다.

④ 일정한 무게의 추를 도르래에 달아 높이를 달리하여 떨어지는 시간 [eqn: t_f]를 측정한다.

⑤ 이 측정값을 이용하여, I를 구한다.

도르래에 걸리는 장력과 관성모멘트에 의한 힘의 평형 관계에서 관성모멘트를 구할 수 있다.

[eqn: vec{tau} = vec{r} TIMES vec{F} = I TIMES a over r]    ([eqn: a = 2h over tp^2])

[eqn: mr^2 (g-a) = I TIMES a]

[eqn: mr^2 (g- 2h over tf^2 ) = I TIMES 2h over t_f^2]

[eqn: { t_f ^2 ={ 2(I +mr^2 ) }over{ mr^2 g} TIMES h]

2) 세차운동속도

① 자이로스코프를 [eqn: theta = 90 DEG]로 균형을 맞춘다.

② 자이로스코프의 축에 질량 m인 물체를 거리 d의 위치에 놓고 회전판을 회전시켜 각속도 [eqn: omega]를 측정한다. 이 때 우리는 100.25g의 추를 사용하였으며, 회전판이 20바퀴 돌 때 9초 가 걸리는 정도의 속도를 유지하도록 일정한 힘을 주었다.

③ 세차운동을 관찰하고 세차운동율을 측정한다.

④ 운동마찰력에 의한 질량 성분을 빼준다. 운동마찰력은 물체를 매달았을 때 등속도로 움직일 때 질량으로 구한다.

⑤ 같은 높이에서 물체를 여러번 낙하시켜 가속도를 측정하여 이론치를 구해 비교한다.

3) 장동운동과 세차운동 관찰

① 실험교과서에 나와있는 다음 움직임을 나타내는 실험을 설계한 뒤 관찰한다.

② 자이로스코프가 균형이 맞을 때까지 평형추를 조정한 뒤, 막대 끝에 추가질량을 둔다.

③ 회전판을 회전시켜 약30°의 정지상태에서 자이로스코프를 떨어뜨린다.

④ 장동운동의 결과는 그림4 첫번째 패턴과 유사할 것이다.

⑤ 세차운동을 멈추고 회전판을 다시 회전시킨다. 약30°의 정지상태에서 자이로스코프를    떨어뜨린다. 그러나 이번에는 세차운동의 방향으로 밀어준다. 장동운동의 결과는 그림4 두   번째 패턴과 유사할 것이다.

⑥ 세차운동을 멈추고 회전판을 다시 회전시킨다. 약30°의 정지상태에서 자이로스코프를    떨어뜨린다. 그러나 이번에는 세차운동 반대방향으로 밀어준다. 장동운동의 결과는 그      림 5의 세번째 패턴과 유사할 것이다.

6. 실험결과 및 분석

1) 관성모멘트 I 측정

도르래를 이용하여 관성모멘트 I를 측정하였다. 100.25g짜리 추를 사용하였다. 실험의 정확도를 높이기 위해 5회 반복 실험하였다. 높이도 바꾸어 실험해보았다.

[표 1] 관성모멘트 I 측정 관련 실험 데이터-127cm에서 실험

추의 무게	100.25 g
낙하높이 y	127 cm
반지름	3.3 cm
시간
5.93 s
6.39 s
6.02 s
6.27 s
6.19 s
평균 [eqn: t_f]: 6.16 s

[표 2] 관성모멘트 I 측정 관련 실험 데이터-112cm에서 실험

추의 무게	100.25 g
낙하높이 y	112 cm
반지름	3.3 cm
낙하 시간
6.02
5.78
5.66
6.10
5.89
평균 [eqn: t_f]: 5.93 s

① 가속도 구하기

[표 1]로부터 평균시간을 측정하여 가속도를 계산하자. 가속도는 [eqn: a = 2y over t^2] 식을 이용하여 구할 수 있다.

y = 1.27 m, t = 6.16 s를 이에 대입하면, [eqn: a = {2 TIMES 1.27 m }over{ 6.16^2 s} = 0.067m/s^2]

따라서 가속도는 [eqn: 0.067m/s^2]가 된다.

이번엔 [표 2]로부터 평균시간을 측정하여 가속도를 계산하자. 가속도는 [eqn: a = 2y over t^2] 식을 이용하여 구할 수 있다.

y = 1.12 m, t = 5.93 s를 이에 대입하면, [eqn: a = {2 TIMES 1.12 m }over{ 5.93^2 s} = 0.064m/s^2]

따라서 가속도는 [eqn: 0.064m/s^2]가 된다.

② 관성모멘트 구하기

이제 관성모멘트를 계산하자. 식 안에서 직접 사용될 질량 m을 결정하기 위해서 가속도를 구하기 위해 단 추의 질량 100.25g에서 마찰질량을 빼줘야 한다. 그러나 이번 실험에서는 마찰을 고려하지 않고 계산해보자. 가속도는 위에서 구한 값의 평균값을 사용하였다.

[eqn: F=m(g-a)]를 이용하자.

[eqn: 0.100kg TIMES (9.8 - 0.066 )m/s^2 = 0.97kg`․`m/s^2]

이제 [eqn: I = tau over alpha]를 구하기 위해 [eqn: tau = rF] 와 [eqn: alpha = a over r]를 구해야 한다.

[eqn: tau = 0.033m TIMES 0.97kg`․`m/s^2]

[eqn: THEREFORE tau = {0.032 kg `․` m^2 / s^2]

[eqn: alpha = 0.066m/s^2 over 0.033m]

[eqn: THEREFORE alpha = 2.0s ^-2]

위에서 구한 [eqn: tau]와 [eqn: alpha]값을 이용하여 관성모멘트를 구하자.

[eqn: I = 0.032 kg`․`m^2 /s^2 DIVIDE 2.0s^-2]

[eqn: THEREFORE I = 0.016kg `․`m^2]

**또 다른 방법

앞서 실험 원리에서 언급했던 [eqn: { t_f ^2 ={ 2(I +mr^2 ) }over{ mr^2 g} TIMES h] 의 식에 앞서 구한 데이터들을 넣어서 계산해보면 결국 [eqn: I = 0.016kg `․`m^2] 이라는 값을 얻어낼 수 있다.

2) 이론적 세차운동율 구하기

1)에서 구한 관성모멘트 I 값의 평균값을 이용하여 세차운동속도를 구하자.

① 주기 구하기

우리는 같은 조의 천유상 군이 회전판을 균일한 속도로 돌리도록 노력하여 20바퀴 돌아갔을 때 총 회전시간이 9.5초 정도가 되도록 연습하였다.

[표 3] 회전 주기 실험 결과

횟수	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	평균
시간(s)	10.27	9.91	9.83	9.70	9.89	9.26	10.09	8.89	9.58	9.41	9.68

주기 T를 찾기 위해 평균 시간을 20으로 나누고 이를 이용하여 각속도를 구하자.

[eqn: omega = 2pi over T] 식을 이용하자.

[eqn: omega = 2pi over 0.484s = 4.13 pi rad/ s]

[eqn: OMEGA = mgd over{ I omega}] 공식을 이용하여 세차운동율을 계산하자.

[eqn: (0.100kg TIMES 9.8m․s ^{-2} TIMES 0.218m)÷`(0.016`kg`․`m ^{2} TIMES `4.13pirad/s} )=60.4 s ^{-1}]

[eqn: THEREFORE OMEGA = 60.4 s^-1]

이것이 이론적 세차운동율이다.

3) 실험적 세차운동율 구하기

아래 그래프는 d =21.8cm인 자이로스코프에 100.25g짜리 추를 매달고 이론적 세차운동율을 구할 때와 거의 동일한 각속도를 주었을 때 시간에 따른 세차운동율의 그래프이다. 실험적 세차운동율은 여기서 2s부터 22s까지의 세차운동율의 평균으로 구하였다. 그 결과 이론적 세차운동율의 값은 [eqn: OMEGA = 51.97 s^-1]이다.

[그림 ] 실험을 통해 얻은 세차운동율 그래프

[표 4] 실험적 세차운동율과 이론적 세차운동율의 오차

가속도	0.065m/s2
관성모멘트 I	0.016kg․m2
회전판의 평균 각속도	[eqn: 4.13pirad/s]
실험적 세차운동율	51.97s-1
이론적 세차운동율	60.4s-1
% 오차	14 %

표에서 나타난 것처럼, 실험적 세차운동율과 이론적 세차운동율의 오차는 약 14%로 나타났다. 이는 우리가 마찰질량을 고려하지 않아 운동마찰력에 의한 영향을 무시한 것과 육안으로 주기를 측정하는 것의 부정확함 등의 원인으로 이러한 오차가 나타난 것으로 여겨진다. 이 점에 대해서는 뒤의 오차보정 및 반성에서 좀 더 다루도록 하겠다.

4) 장동운동과 세차운동 관찰

아래의 세 운동들은 실험책에 있는 예시 운동 궤적을 보고 추측하여 실험한 결과이다. 첫 번째 실험은 제자리에서 세차운동 할 때의 운동이며 두 번째 실험은 운동 방향으로 좀 더 힘을 주었을 때의 세차운동이다. 마지막 실험은 운동 방향의 반대 방향으로 힘을 더 주었을 때의 세차운동이며 이와 같은 자이로스코프의 운동은 마지막 장에 첨부된 [그림 9]에서 볼 수 있듯이 벡터의 곱을 구하는 오른손 법칙을 이용하여 설명할 수 있다.

[그림 4] 장동운동과 세차운동의 예시

세차운동은 회전체의 회전축이 움직이지 않는 어떤 축의 둘레를 도는 현상으로 약한 외력의 모멘트가 수직으로 작용하여 생기게 된다. 장동운동은 회전축이 일정 축의 방향으로 움직이는 것을 말한다. 이에 착안하여 실험을 계획하였다. 토크에 의한 힘과 중력의 의한 힘의 벡터합은 시간에 따라 계속해서 변하며 3가지 다른 경우에 대해 이 값을 측정하였다. 시간이 지날 수록 마찰에 의해서 에너지를 잃고 점점 진폭이 감소하는 것을 볼 수 있었다.

① 외력을 가하지 않은 경우

[그림 ] 제자리에서 세차 운동할 때의 움직임

중력에 의해 y축의 값이 점점 감소하며 마찰로 인해 진폭도 감소함을 볼 수 있다.

② 토크의 방향과 같은 방향으로 외력을 가한 경우

[그림 ] 운동방향으로 힘을 더 주었을 때의 움직임

파장이 첫 번째 경우에 의해 증가하였음을 볼 수 있으며 마찬가지로 시간에 따라 진폭이 감소하고 있다.

③ 토크의 방향과 반대방향으로 외력을 가한 경우

[그림 ] 운동방향과 반대방향으로 힘을 주었을 때의 움직임

반대방향으로 외력을 가했을 경우, 역주행을 하는 현상도 볼 수 있었다.

7. 오차보정 및 반성

각속도 측정 등 실험 결과에 직접적으로 사용되는 수치들을 육안으로 관찰해야 했기 때문에 많은 오차가 발생했다.

자이로스코프의 균형을 정확히 90도로 맞추기 어려운 것도 한가지 이유였다. 관성모멘트를 측정함에 있어서 세차운동이 이상적이지 못하고 흔들리는 데다가 운동횟수가 증가함에 따라 운동각도가 작아져서 정확한 관성모멘트를 측정할 수 없었다. 자이로스코프의 균형을 정확히 맞추고 주기 측정등을 육안이 아닌 기기를 사용해서 할 수 있었다면 좀 더 정확한 실험결과를 얻을 수 있었을 것이다.

각속도의 주기를 재는 것도 몇십회의 연습을 거쳐 최대한 일정한 값을 얻으려 했지만, 한계가 있는 것도 문제였다. 또한 회전판의 회전 시에 마찰이 작용하는데 보정 값으로 마찰 값을 뺐음에도 불구하고 마찰력에 의한 영향이 제대로 반영되지 않은 것으로 보인다.

하지만 마찰이 고려되지 않은 이론적 세차운동율이 실험적 수치보다 크게 나온 것을 통하여 실제 실험에서는 운동 마찰력이 세차운동에 영향을 주었음을 알 수 있었다.

다음에 같은 실험을 한다면 마찰질량을 정확하게 잴 수 있도록 노력하고 회전판을 돌리는 각속도를 일정하게 유지시킬 수 있는 기기 등을 이용하여 이론적 세차운동율과 실험적 세차운동율이 거의 비슷하게 나올 수 있도록 해보고 싶다.

8. 느낀점

첫 일반물리학 실험이었는데, 토크에 대한 사전지식이 전혀 없어서 실험하는데 매우 애를 먹었다. 토크나 강체의 회전운동에 대한 사전지식이 조금만 있었더라도 실험이 훨씬 수월했을 뿐 아니라 오차의 원인을 많이 줄일 수 있었을 것이다. 하지만 막상 실험결과를 내보니, 생각보다 신빙성 있는 데이터가 나와 굉장히 뿌듯했고 세차운동에 대해서 조금 더 깊이 있게 생각할 수 있었다.

지구, 팽이와 전자의 운동등이 모두 세차운동을 한다는 것도 조사를 통해 알게 되었다. 선운동량의 시간변화율은 힘으로 나타나고, 각운동량의 시간변화율은 토크로 나타나는 차이를 이해할 수 있었다. 항공기나 선박, 자동차 등 우리 주변의 많은 이동수단들이 회전운동을 할 때 상하움직임의 진동현상이 발생한다는 것도 알았다.

다음부터는 데이터 스튜디오의 사용법을 좀 더 익히고 사전 지식을 갖추어 더욱 체계적으로 실험할 수 있도록 노력해야겠다.

[그림 7] 여러 가지 세차운동들